Wie sehen die Transferpotentiale von
Steuern, Sozialhilfe und gesellschaftlichem Druck aus ?
von Robert Fischer und Dieter Braun


Man kann weitgehende Aussagen über Ökonomien machen1, welche (1) einen zentralen obligatorischen Geldtransfer haben und (2) darüberhinaus zufällig Geld transferieren. Es hängt vom obligatorischen Geldtransfer ab, ob diese Ökonomie einem stationären Zustand zustreben, wie eine solche finale Geldverteilung aussieht und welche finale Geldmenge man erwarten kann. Wir werden diese sehr allgemeine Theorie am Beispiel von Steuern, Sozialhilfe und gesellschaftlichem Druck erläutern.
 

A  Wiederholung der Theorie  (kann übersprungen werden).

Das monetäre Guthaben der Leute ist gegeben durch p. Der zufällige Anteil am Geldtransfer wird wie folgt definiert. Personen kaufen gegenseitig Waren und überweisen dafür immer die Geldeinheit Dp. Mit welchen Personen sie dies tun, wird zufällig ausgewählt. Die Personen machen dies regelmäßig alle Dt Zeiteinheiten. Beide Größen werden zu einer Diffusionskonstanten D = Dp2 / Dt zusammengefaßt.

Der systematische Transfer ist der regelmäßige Geldtransfer von DpT von einer Zentralstelle innerhalb eines Zeitintervals DtT. Ist der Geldtransfer DpT > 0, dann bekommt man Geld, ist er negativ, muß man Geld abgeben. Wir machen die Einschränkung, daß dieser systematische Transfer nur vom Guthaben p abhängt und sonst keine Unterschiede zwischen den Leuten macht. Wir fassen den systematischen Transfer als Kraft F(p) = DpT / DtT. Um eine Vorhersage zu machen, müssen wir diese Kraft zu einem Transferpotential U integrieren, so daß die Ableitung von U das negative der Kraft entspricht: F(p) = - U'(p).

Ausgehend von diesen Voraussetzungen kann man nun zeigen

  1. daß diese Ökonomie nur dann in einen stationären Zustand konvergiert, wenn das Potential U(p) für große und kleine Werte des Guthabens p sehr groß wird. Genau genommen muß das U(p) für p nach plus und minus unendlich nach plus unendlich divergieren.
  2. daß, wenn dies erfüllt ist, man im Mittel n(p) Leute finden wird, welche das Guthaben p haben. Diese Guthabenverteilung wird beschrieben durch die einfache Formel n(p) = c exp[-U(p)/D]. Dabei ist exp[] die Exponentialfunktion zur Basis e. Die Konstante c sorgt dafür, daß die Summe über n(p) von p=-unendlich bis +unendlich der Zahl der Teilnehmer N entspricht. Man kann damit c ausrechnen als c = N/Summe über exp[-U(p)/D].
  3. daß man die Geldmenge M im konvergierten Zustand ausrechnen kann. Die Geldmenge wird im allgemeinen definiert als Summe der positiven und negativen Guthaben, also als M=Summe über p*n(p) von p=-unendlich bis +unendlich.
  4. daß man ermitteln kann, ob die Zentralstelle bis zum Erreichen des stationären Zustands ein Defizit aufbauen wird. Das tut sie nämlich genau dann, wenn die Menge der negativen Guthaben (= Summe über p*n(p) von p=-unendlich bis p=0) nicht der Menge der positiven Guthaben (= Summe über p*n(p) von p=0 bis p=unendlich) entspricht.

 

B  Kein Fixer Transfer: das System divergiert.
 

Wird kein Transferpotential angesetzt, haben wir die Transferkraft F=0. Damit ergibt sich also ein Transferpotential, welches konstant ist. Warum? Nun die Ableitung des Potentials muß Null sein und damit U'=-F=0. Die wichtige Beobachtung ist, daß eine solche Ökonomie nie in einen stationären Zustand kommen wird: die Reichen werden immer reicher und die Armen immer ärmer. Dies wird beschreiben durch eine divergierende Guthabenverteilung n(p,t) zum Zeitpunkt t von n(p,t) = N/sqrt(4pDt) * exp[-p2/(4Dt)]. Mit ansteigender Zeit t wird eine solche Gaußverteilung immer breiter. Wir zeigen oben Rechnungen für einen zufälligen Transfer von D=1 und einer Teilnehmerzahl von N=2000. Ein rein zufälliger Geldtransfer führt zu einer divergierenden Ökonomie. Dieser Sachverhalt widerspricht übrigends der Quantitätslehre1.
 
 

C  Kopfsteuer für alle und Sozialhilfe für alle ergibt divergierendes System

Der Fall, daß jeder gleich viel Steuern zahlen muß und jeder Sozialhilfe bekommt, entspricht dem Fall B oben. Warum? Nun der Transfer F ist für alle Leute gleich 0, weil sich Steuern und Sozialhilfe gegenseitig aufheben. Wenn sie sich nicht genau aufheben sollten, häuft die Zentralstelle entweder Defizite oder Guthaben an - das System divergiert unabhängig davon.
 
 

D  Kopfsteuer für positive Guthaben und Sozialhilfe für negative Guthaben
     ergibt exponentielle Guthabenverteilung
 

Das einfachste Beispiel ist, wenn jeder Teilnehmer mit einem positiven Guthaben einen festen Betrag, im Beispiel 0.1 pro Zeiteinheit Dt abführt und wenn jeder Teilnehmer mit einem negativen Guthaben eine feste Spende von 0.1 pro Zeiteinheit bekommt. Wie sieht hierzu das Transferpotential U aus? Nun, die Steigung muß -F=0.1/Dt sein für p>0 und -F=-0.1/Dt für p<0. Das heißt, wir haben einen Potentialtrog mit geraden Kanten. Damit ergibt sich zum einen, daß das System konvergieren wird, weil das Potential jeweils nach unendlich geht. Zum anderen ist die finale Guthabenverteilung eine doppelt abfallende Exponentialfunktion.
 
 

E  Kopfsteuer für alle und Sozialhilfe für negative Guthaben
     ergibt asymmetrische, exponentielle Guthabenverteilung

Wie sieht es aus, wenn alle Steuern zahlen und nur Leute mit negativem Guthaben eine Sozialhilfe bekommen? Nehmen wir an die Kopfsteuer ist F=-0.1/Dt und die Sozialhilfe ist +0.2/Dt. Damit hat für positive Guthaben das Transferpotential U die Steigung -F=0.1/Dt und für negative Guthaben die Steigung -F=-0.2/Dt+0.1/Dt=0.1/Dt. Damit ergibt sich dasselbe Ergebnis wie in D.
 
 

F  Gesellschaftlicher Druck eines Schuldenlimits
    ergibt eine Boltzmann-Verteilung
 

Ein typischer Einwand gegen den zufälligen Transfer ist, daß in realen Systemen der Transfer genau dann nicht mehr zufällig ist, wenn gesellschaftlicher Druck ausgeübt wird. Zum Beispiel im Falle des freien zufälligen Transfers von B wird die Gesellschaft irgendwann zu den Leuten mit negativem Guthaben sagen, daß sie sich bitteschön ein bißchen mehr bemühen sollten - auch wenn diese im System richtig argumentieren, daß sie nur eben Pech gehabt haben.

Interessanterweise kann man den gesellschaftlichen Druck auch mit einem Transferpotential erfassen. Nehmen wir den radikalsten Ansatz und verlangen, daß keiner mehr als 13.5 Schulden haben soll. Wir erreichen das, indem wir eine hohe Potentialbarriere für p<-13.5 aufbauen. Was bedeutet das? Wenn die Leute mit Schulden weiterhin sich zufällig verhalten würden, würde man sie mittels hoher Sozialhilfe aus dem Schuldensumpf holen, damit F positiv ansteigend für p<-13.5 und im Extremfall sehr steil gegen unendlich. Wir setzen also das reale Verhalten der Leute, welches bei p<-13.5 nicht mehr zufällig ist, zusammen durch einen zufälligem Anteil und systematischen Drift hin zu höherem p.

Ein solcher Ansatz würde nur für p<0 zu einem konvergenten System führen, weil das Potential U nur für p<0 nach plus unendlich geht, nicht aber für p>0. Um Konvergenz zu erreichen, müssen wir das System ergänzen mit einer Kopfsteuer der Höhe F=-0.07/Dt für alle. Damit ergibt sich dann ein konvergierendes System, welches zu einer exponentiellen Verteilung hinstrebt. Das bedeutet also, daß eine Gesellschaft auch einen Druck gegenüber seinen reichen Teilnehmern aufbauen muß, bitteschön ihre Transfers so zu beeinflussen, daß ihr netto von eurem Reichtum etwas abgebt: sonst wird das System divergieren.
 

[1] Transfer Potentials shape and equilibrate Monetary Systems Physica A 321:605-618 (2003)
     deutsche Übersetzung unter Transferpotentiale formen und equilibrieren Geldsysteme